Решения задач части Б письменного тура.
1.
Мама пришла с
работы домой и обнаружила, что коробка с конфетами пуста. На вопрос «Кто съел конфеты?»
ее сыновья Ваня, Толя и Гриша ответили так: Ваня: «Гриша не ел последнюю
конфету» Толя: «Гриша и Ваня оба ели конфеты» Гриша: «Толя и Ваня оба не ели
конфеты». В последствии оказалось, что все сказали неправду. Кто съел конфеты?
Ответ: Гриша и Толя.
Решение. Поскольку Ваня сказал неправду, то
Гриша съел последнюю конфету и, следовательно, конфеты он ел. Поскольку Толя
сказал неправду, а мы уже выяснили, что Гриша конфеты ел, то для того, чтобы
утверждение Толи было неверно, необходимо, чтобы Ваня не ел конфет. Но тогда,
чтобы Гришино утверждение было неверно, Толя должен был участвовать в поедании
конфет.
2.
Вася хочет
разрезать клетчатый квадрат 6х6 на несколько фигурок вида А
или В и одну фигурку вида С (см.рис.). Сможет
ли он это сделать? Если сможет, то укажите как, если же нет, то объясните
почему.
Ответ: Не сможет.
Решение. Предположим, что разрезать удалось. Раскрасим исходный квадрат в
черную и белую клетку в шахматном порядке. Заметим, что при любом расположении
фигурок вида 1 и 2 в каждой из них будет черных и белых клеток поровну. В то
время в фигурке вида 3 будет либо белых, либо черных клеток больше. Поэтому во
всех использованных фигурках общее количество клеток одного цвета будет больше,
чем общее количество клеток другого цвета. Но в исходном квадрате черных и белых клеток поровну, следовательно,
разрезать требуемым образом нельзя.
3.
Лиса Алиса и кот Базилио
отправились из харчевни на поле Чудес в страну Дураков.
Базилио замешкался и вышел из харчевни, когда Алиса
прошла 17 км. Сколько еще Алисе оставалось до поля Чудес, когда Базилио был от него на расстоянии 77 км, если Алиса и Базилио ходят с одинаковой скоростью?
Ответ: 60км.
Решение. Будем считать, что весь путь от харчевни до поля Чудес проходит по прямой. Отметим положение харчевни (Х), поля (П), положение
Алисы в момент выхода Базилио (А) и положение ее (А1)
и Базилио (Б) во второй момент времени (см.рис.)
В то время как Базилио прошел
расстояние ХБ Алиса прошла расстояние АА1.
Поскольку их скорости одинаковы, то ХБ=АА1.
Но тогда БА1=ХА=17. Следовательно
А1П = 77–17 = 60.
4.
На математическом
конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику
давали 3 балла за каждую решенную сложную задачу и 2 балла за каждую решенную
простую задачу. Кроме того, за каждую нерешенную простую
задачу вычитали 1 балл, а за каждую нерешенную сложную задачу давали 0 баллов.
Толя решил верно 10 задач и получил за них 14 баллов.
Сколько простых задач было на конкурсе?
Ответ: 16 задач.
Решение. Если бы простые задачи оценивались как сложные, Толя получил бы 30 баллов.
Но на каждой простой задаче (решенной или нет) он терял 1 балл от этих 30.
Значит, он потерял 30 – 14 = 16 баллов. Следовательно, простых задач было 16.
1.
Имеется 8
одинаковых на вид монет. Известно, что среди них две фальшивые, отличающиеся по
весу от настоящих, но неизвестно, легче они или
тяжелее. Требуется с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь
разбить монеты на две кучки по 4, в каждой из которых была бы ровно одна
фальшивая монета. (фальшивые
монеты весят одинаково)
Решение. Обозначим монеты 1,2,3,4,5,6,7,8.
Одним взвешиванием взвесим монеты (1)(2) и (3)(4), а вторым монеты (5)(6) и
(7)(8). Разберем возможные случаи.
1)
Если
(1)(2) = (3)(4) и (5)(6) = (7)(8), то очевидно, что
(1)(2)(5)(6) = (3)(4)(7)(8) и среди этих
четверок одинаковое число фальшивых монет.
2)
Если
(1)(2) > (3)(4) и (5)(6) = (7)(8), то обе фальшивые монеты среди первых
четырех монет тогда (1)(3)(5)(6) =
(2)(4)(7)(8) и это искомые четверки.
3)
Если
(1)(2) > (3)(4) и (5)(6) > (7)(8), то фальшивые монеты были либо оба раза
на левых чашках весов, либо оба раза на правых и тогда (3)(4)(5)(6) = (1)(2)(7)(8) и это искомые четверки.
Остальные случаи аналогичны разобранным.
