Ответ: 21.

Решение. Раскрасим план замка так, как на рисунке. Тогда из условия следует, что путник переходит из белого  зала в черный и из черного зала в белый. Если он каждый зал может посетить только один раз, то количество белых и черных залов, посещенных путником, может отличаться не более, чем на 1. Заметим, что белых залов 15, а черных – 10. Тогда число посещенных залов не может быть больше 21. Пример для 21 привести можно (см.рис.) Крестиками отмечены непосещенные залы.