Решения задач части Б письменного тура.

1.      На столе лежали три стопки одинаковых монет из 19 монет, 23 монет и 29 монет. В одной из них одну монет заменили монетой другого веса, внешне не отличающейся от остальных. Есть чашечные весы без гирь. На чаши можно класть кучки монеты и сравнивать вес этих кучек. Как за одно взвешивание найти стопку, в которой все монеты одинаковые?

Решение. На одну чашу весов положим стопку из 19 монет, на другую 19 монет из стопки, в которой 23 монеты. Если весы в равновесии, то в стопке из 19 монет все монеты одинаковые. Если равновесия нет, то в стопке из 29 монет все монеты одинаковые.

2.      Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А в В. Проехав треть пути, велосипедист остановился. Когда велосипедист продолжил движение, мотоциклисту оставалось проехать треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, без остановки поехал обратно в А.
Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В?

Ответ: велосипедист.
Решение. Когда велосипедист проехал треть пути, мотоциклист проехал менее 2/3 от АВ. Отсюда скорость мотоциклиста менее чем в 2 раза превышает скорость велосипедиста. Когда велосипедист возобновил путь, ему надо проехать 2/3 от АВ, а мотоциклисту вдвое больше (4/3 от АВ) — велосипедист приедет раньше.

3.      В детском саду дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика пряников либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могут ли они все вместе иметь ровно 2006 пряников?

Ответ: не могут.
Решение. У каждой пары ребят число пряников кратно трем. Значит, общее количество пряников делится на 3. Но 2006 на 3 не делится.

4.      В отрывном календаре оторвали листок и положили на следующий так, как показано на рисунке слева. Какая часть нижнего листка больше: закрытая или незакрытая?

Ответ: закрытая больше.
Решение. Закрытая часть, отмеченная на правом рисунке темным цветом, — половина площади всего листа. Отсюда видно, что закрытая часть листа больше.

5.      На чудесной сосне растут 8 бананов и 7 апельсинов. Если сорвать два одинаковых фрукта, на сосне тут же вырастает еще один банан, а если сорвать два разных, то вырастает один апельсин. Срывать фрукты по одному нельзя. Можно ли так срывать фрукты с сосны, чтобы последний фрукт на ней был бананом?

Ответ: нельзя.
Решение. Необходимо, чтобы на дереве пропали все апельсины. В начале на дереве было нечетное число апельсинов. В результате операции «сорвал - выросло» число апельсинов либо не изменяется, либо уменьшается на 2. Значит, количество апельсинов на дереве всегда будет нечетным, то есть не сможет равняться нулю.