Часть А. Краткие решения.

1.      Каждую секунду Карлсон съедает 1 конфету. Сколько конфет он съест за час?

Ответ: 3600 конфет.

Решение. Так как каждую секунду он съедает по одной конфете, то количество конфет будет равно количеству секунд в одном часе. 1час = 60 минут = 3600 секунд.

2.      Дедушку мальчика Григория Анатольевича зовут Анатолий Иванович. Как зовут отца этого мальчика?

Ответ: Анатолий Анатольевич.

Решение. Поскольку отчество мальчика Анатольевич, то его отца зовут Анатолий. Соответственно, поскольку дедушку зовут Анатолий, то и отчество его сына будет Анатольевич.

3.      Есть розы, астры и лилии. Сколько различных букетов из трех цветков можно составить?

Ответ: 10 букетов.

Решение. Три букета из цветов одного сорта, один букет из трех различных цветков. Осталось сосчитать количество букетов из цветков двух сортов. В каждом таком букете будет два одинаковых цветка и еще один другого сорта. Выбрать сорт двух одинаковых цветков мы можем тремя способами, а оставшийся цветок – двумя способами. Следовательно, вариантов таких букетов 6. А всего 6 +3 + 1 = 10.

4.      (а) У трехзначного числа, записанного одинаковыми цифрами, стерли две цифры. Во сколько раз уменьшилось число?
(б) У четырехзначного числа, записанного одинаковыми цифрами, стерли две цифры. Во сколько раз уменьшилось число?

Ответ: (а) в 111 раз, (б) в 101 раз.

Решение. (а) запишем исходное число в виде ĀĀĀ  После стирания двух цифр получится число Ā или просто А. Тогда ĀĀĀ = 111 А и, следовательно, число уменьшилось в 11 раз. (б) Аналогично исходное число равно ĀĀĀĀ= 100ĀĀ+ĀĀ = 101ĀĀ. Поэтому после стирания двух цифр число уменьшится в 101 раз.

5.      Напишите наименьшее 12-тизначное число, в котором встречаются все цифры.

Ответ: 100023456789.

Решение. В искомом числе обязательно должны быть цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и еще произвольные цифры. Чтобы это число было наименьшим, в старший разряд необходимо поставить наименьшее возможное число. Это 1 (на 0 число начинаться не может). Так как у нас имеются две произвольные цифры, то возьмем их равными нулями и расставим все имеющиеся цифры в порядке возрастания. Очевидно, что это число – искомое, так если какое-либо другое 12-тизначное число имеет в каком-то разряде цифру меньше, чем у данного, то это означает, что-либо не использованы все цифры, либо в более старшем разряде стоит цифра больше, чем у данного числа.

6.      Электронные часы показывают время в 24-часовом формате. Какой ближайший к полудню момент времени, когда все четыре цифры на часах разные?

Ответ: 12:03.

Решение. Полдень обозначается на таких часах как 12:00. Следовательно, мы должны изменить часы и минуты так, чтобы цифры стали разными, а мы как можно меньше отклонились от 12:00. Посмотрим, какие цифры можно менять. Нельзя взять 11 часов с минутами, так как тогда цифры будут одинаковыми. А если брать 10 часов и раньше, то до полудня будет более часа. Оставим показания часа неизменным, а поменяем минуты. Ближайшее время 3 минуты, так как 1 и 2 минуты использовать уже нельзя.

1.      Дима сложил квадратный лист бумаги пополам, потом еще раз пополам так что снова получился квадрат. Потом сложил еще раз пополам. После этого у получившегося прямоугольника обрезал все уголки. Развернув лист, Дима обнаружил в листе дырки. Сколько?

Ответ. 3 дырки.

Решение. После первых двух складываний у листка будет только один «уголок», сгиб которого приходится внутри исходного квадрата. После третьего сгиба таких уголков будет два, причем один двойной.

2.      Утром Костя пошел в школу. Сначала половину имеющихся денег он потратил на проезд до школы, потом нашел на дороге 50 руб, затем потратил на завтрак 30 руб. Вернулся домой пешком и обнаружил, что у него столько же денег, сколько было перед выходом в школу. Сколько?

Ответ: 40 рублей.

Решение. Заметим, что от найденных денег после покупки завтрака осталось 20 рублей. Но так как он до этого потратил половину денег, а в результате количество денег осталось прежним, то эти 20 рублей компенсировали затраты. Следовательно, 20 рублей и есть половина первоначальных денег.

3.      Склеенный из бумаги кубик разрезали по всем диагоналям граней. Получилось несколько фигур.

(а) Какие это фигуры?    (б) Сколько их?

Ответ: (а) квадраты)  (б) 12.

Решение. На рисунке заштрихована одна из таких фигур. Так как все грани куба – одинаковые квадраты, то все диагонали равны и делят каждую грань куба на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Два таких треугольника образуют квадрат из нашей развертки. Этих квадратов столько же, сколько ребер у исходного куба (каждое ребро в таком квадрате является диагональю). Ребер у куба 12.

4.      В комнате четыре человека – жители острова рыцарей и лжецов каждый из них сделал заявление:

Первый: среди нас не более одного лжеца.

Второй: среди нас не более двух лжецов.

Третий: среди нас не более трех лжецов.

Четвертый: среди нас не более четырех лжецов.

Сколько рыцарей в комнате?

Ответ: 4 рыцаря.

Решение. Заметим, что четвертый в любом случае прав, так как среди четырех человек не может быть больше четырех лжецов. Значит, он рыцарь. Следовательно, лжецов комнате не более трех и прав третий. Поэтому он тоже рыцарь. Аналогично прав второй и первый. То есть все они сказали правду.