Задания олимпиады и краткие решения.

Часть А

1.      Витя и Маша ели конфеты. Вместе они съели на 17 конфет больше, чем Витя, и на 15 конфет больше, чем Маша. а) Сколько конфет съел Витя? б) Сколько конфет они съели вместе?

Ответ: (а) 15 конфет;  (б) 32 конфеты.

Решение. Витя и Маша вместе съели конфет больше, чем Маша ровно на столько, сколько съел Витя, то есть Витя съел 15 конфет. Аналогично рассуждая, получаем, что Витя съел 17 конфет. Отсюда всего съели 15+17=32.

2.      Полбуханки хлеба стоят на 2 рубля дороже, чем четверть буханки. Сколько стоит буханка?

Ответ: 8 рублей.

Решение. Поскольку в полбуханки хлеба две четверти буханки, то 2 рубля – это стоимость четверти буханки. Значит вся буханка в 4 раза дороже.

3.      Группа детского сада шла парами. Вова, шедший в паре с Машей, насчитал семь пар впереди себя, затем обернулся и насчитал пять пар позади. Сколько человек в группе?

Ответ: 26 человек.

Решение. Всего пар кроме пары Вовы 7+5=12 пар. И еще пара Вова и Маша. Значит всего пар 13 и человек в парах 26.

4.      На столе стоит два ларца. В каждый из них Кашей положил или не положил яйцо. На каждом ларце Кашей что-то написал. Известно, что если в ларце не лежит яйцо, то надпись на нем верна, а если лежит, то надпись неверна. Сейчас надписи такие:

На левом ларце: «в обоих ларцах лежит по яйцу».

На правом ларце: «яйцо только в одном ларце».

Сколько лежит яиц и в каких ларцах?

Ответ: одно, в левом.

Решение. Заметим, что надпись на первом ларце не может быть верной, так как тогда бы в каждом ларце, в том числе и в левом, должно лежать яйцо и, по условию, надпись должна быть неверной. Значит, надпись неверна, и одновременно в двух ларцах яйца лежать не могут. Но, так как надпись неверна, но в этом ларце лежит яйцо, а в правом – нет. Проверяем вторую надпись – все сходится.

5.      В стране великанов все расстояния в 3 раза больше, чем у нас с вами. Сколько спичечных коробков поместится в пустой спичечный коробок великана?

Ответ: 27 коробков.

Решение. Поскольку все расстояния больше в три раза, то в спичечном коробке великана и дина, и ширина, и высота больше в три раза. Это значит, что Большой коробок можно «разбить» на 27 маленьких – наших обычных коробков.

6.      Сколько всего прабабушек было у всех ваших прабабушек? (у каждого человека ровно две бабушки: мама мамы и мама папы)

Ответ: 16.

Решение. Прабабушка – это мама бабушки или дедушки. Так как у каждого человека две бабушки и два дедушки, то всего 4 прабабушки (см.рис.)

Но тогда у каждой прабабушки тоже было по 4 прабабушки. Поэтому всего  4´4=16.

7.      Прямоугольную шоколадку разломали на 4 прямоугольных кусочка. Первый кусочек состоит из 12 квадратных долек, второй – из 18, третий – из 8. (см.рис.) а) Сколько квадратных долек в четвёртом кусочке?            б) Сколько долек во всей шоколадке?

Ответ: (а) 12 долек; (б) 50 долек.

Решение. Будем измерять площади прямоугольников в квадратных дольках. Рассмотрим два верхних прямоугольника. Поскольку прямоугольники соприкасаются сторонами, то их площади отличаются во столько раз, во сколько раз отличаются длины двух других сторон. 12 в полтора раза больше, чем 8. Значит, длина правого верхнего прямоугольника в полтора раза больше длины левого верхнего. Тогда площади нижних прямоугольников также должны отличаться в полтора раза. Поэтому искомая площадь 18:3×2 = 12. Суммируя все площади, получаем площадь всех шоколадки.

8.      В некотором году в январе 4 вторника и 4 субботы. Какой день недели 1 января?

Ответ: среда.

Решение. В январе 31 день. Это 4 полных недели (28 дней) и еще 3 дня. Это означает, что трех дней недели будет в месяце на 1 больше (то есть 5), чем остальных. По условию в данном январе 4 вторника и 4 субботы, значит, три дня должны уместиться либо между вторником и субботой, либо между субботой и вторником. Второй вариант не подходит – воскресенье и понедельник – только два дня, а первый вариант – среда, четверг, пятница – подходит. И эти дни совпадают по дням недели с 1,2 и 3 января.

9.      На день Святого Валентина в актовом зале повесили полотняное сердце (см.рис.). Известно, что на одну клеточку этого сердца уходит 1 м² красной материи. Сколько материала ушло на все сердце? (34 м²)

Ответ: 34м².

Решение. В сердце 26 целых клеточек, 12 половинок и еще два кусочка, в сумме дающих две клеточки (эти кусочки выделены на рисунке серым цветом). Всего 26+12/2 + 2= 34.

10.  В коробке лежат красные, синие и белые шары. Если вытащить любые 8 шаров, то среди них обязательно найдется хотя бы один красный, если же вытащить 9 шаров, то хотя бы один синий, а если 10, то хотя бы один белый. а) Какое наибольшее количество шаров может быть в коробке? б) Сколько в этом случае красных? в) Сколько в этом случае белых?

Ответ: (а) 12 шаров; (б) 5 красных шаров; (в) 3 белых шара.

Решение. Пусть количество красных шаров равно К, синих С, а белых Б. Тогда, поскольку среди любых 8 шаров найдется хотя бы 1 красный, то шаров другого цвета (синих и белых) в сумме не более 7. То есть С+Б≤7. Аналогично, К+Б≤8 и С+К≤9. Тогда 2С+2Б+2К ≤ 24. То есть общее количество шаров не превосходит 12. если шаров 12, то неравенства превращаются в равенства: С+Б=7, К+Б=8 и С+К=9. Отсюда видно, что красных на 1 больше, чем синих, а синих на 1 больше, чем белых. Значит 12=Б+С+К=Б+С+(С+1)=3Б+3. Поэтому белых 3, а красных 5.