Задания олимпиады и краткие решения.

Часть Б

1.      На необитаемом острове растут три дерева: дуб, береза и сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на деревья повесили таблички. На дуб – "клад зарыт не здесь";   на березу – "клад зарыт не здесь";  на сосну – "клад зарыт под березой". Только одна табличка говорит правду. Под каким деревом клад?

Ответ: под дубом.

Решение. Таблички на березе и сосне утверждают противоположное. Поэтому всегда ровно одна из них говорит правду. Тогда табличка на дубе врет. Значит клад зарыт под дубом.

2.      В четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника (см.рис.) Известно, что сумма периметров этих треугольников равна 73см, а периметр четырехугольника равен 29см. Чему равна сумма длин диагоналей?

Ответ: 22см.

Решение. 73=Р_АОВ + Р_ВОD + Р_СОD + Р_АОС = АО+АВ+ОВ + ОВ+ВD+OD + ОD+СD+ОС + ОС+АС+АО = 2(ВО+ОС) + 2(АО+ОD) + АВ+ВD+CD+АС = 2ВС + 2AD + Р_АВСD = 2(ВС+AD) + 29. Откуда ВС+AD = (73–29)/2 = 22см.

3.      В классе учится меньше, чем 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятерки, третья – четверки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

Ответ: одна.

Решение. Поскольку седьмая часть учеников получила пятерки, то количество учеников в классе делится на 7. Аналогично, оно делится на 3 и на 2. Наименьшее число, делящееся на 2,3 и 7 это 42 (это НОК (2,3,7)). Следующее число уже больше 50. Значит в классе 42 ученика. Из них 42:7=6 получили «5», 42:3=14 получили «4», 42:2=21 – «3». Осталось 42 – 6 – 14 – 21 = 1 ученик получил «2»

4.      Винни-Пух и Тигра лезут на два одинаковых дерева. Винни-Пух поднимается и спускается с одинаковой скоростью, а Тигра лезет вверх в два раза быстрее Винни-Пуха, а спускается в два раза медленнее Винни-Пуха. Кто из них поднимется и спустится быстрее?

Ответ: Винни-Пух.

Решение. Если Тигра спускается в два раза медленнее Винни-Пуха, то на путь вниз он потратит столько же времени, сколько Винни-Пух на подъем и спуск.

5.      Незнайка купил в магазине 4 одинаковых игральных кубика. Развлекаясь, он решил прикладывать их друг к другу гранями с одинаковым числом очков. В результате на столе появилась следующая конструкция (см. рис.) Знайка взглянул на конструкцию Незнайки и заявил, что тот опять что-то напутал. Прав ли Знайка?

Ответ: прав.

Решение. Обозначим кубики (1), (2), (3) и (4) как показано на рисунке. Так как у первого кубика нам видны грани с очками 1,2 и 3, то кубик (4) не может соприкасаться с кубиком (1) по грани с очками 1,2 или 3. Но поскольку у кубика (4) видны грани с очками 5 и 6, то если незнайка ничего не напутал,  кубики (1) и (4) соприкасаются по грани с четырьмя очками.

Тогда кубик (1) может соприкасаться с кубиком (2) только гранью с 6 очками (поскольку грань с 5 очками у кубика (2) видна). Таким образом, поскольку кубики одинаковые, то они устроены так: противоположные грани 1 и 4, 2 и 6, 3 и 5. Но тогда кубик (2) должен соприкасаться с кубиком (3) гранью с 3 очками (как противоположной верхней грани с 5 очками), что невозможно.