Устная олимпиада для школьников

7-8 классов.

 Довывод.

1.                Маша написала на доске четыре натуральных последовательных числа. Леша разделил каждое из них на 10 и стер цифры после запятой. Оказалось, что теперь сумма написанных на доске чисел равна 2007. Какие числа написала Маша изначально? (Д.А.Калинин)

Решение

Решение

3. На рисунке треугольники АВС, СDК и АКМ – равносторонние. Докажите, что АD = МС. (Д.А.Калинин)

Решение

4.       В комнате сидело 2007 жителей острова рыцарей и лжецов. В какой-то момент один человек обиделся и ушел. Один из оставшихся, поглядев в след, заметил: «Ушедший – лжец!» После чего встал и тоже вышел. Второй сказал: «Оба ушедшие – лжецы» и тоже ушел. Далее каждый из оставшихся уходил, говоря: «Все ушедшие – лжецы». Пока последний оставшийся в комнате печально не констатировал: «Да, все ушедшие – лжецы». Определите, сколько в комнате было лжецов первоначально. (Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) (Е.Ю.Иванова)

Решение

5.       Замок имеет форму правильного треугольника, разбитого на 25 одинаковых залов, каждый из которых также имеет форму правильного треугольника (см. рис.) В стене между любыми двумя залами есть дверь. Путник хочет обойти как можно больше залов, не заходя ни в один зал дважды. Какое наибольшее количество залов ему удастся обойти? (Самарский кружок 6 класса)

Решение

 

Вывод.

6.       На сторонах AB и BC ромба ABCD с углом A, равным 60°, взяты соответственно точки E и F так, что сумма BE и BF равна стороне ромба. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку DE проходит через точку F. (Д.А.Калинин)

7.       Малыш и Карлсон разрезали круглый торт прямолинейными разрезами, проходящими через его центр, на 22 одинаковых кусков. Они договорились поочередно съедать по 2 произвольных куска до тех пор пока не останется два куска, а оставшиеся 2 куска достанутся Малышу, если они окажутся рядом, и Карлсону в противном случае. Начинает есть, конечно, Карлсон. Кто из них сумеет съесть больше торта? (Е.Ю.Иванова, по мотивам Российского фестиваля математиков, 1999г, Адлер)

8.       Половина шахматного поля 6х6 отделена «забором» – главной диагональю. Шахматный конь «пасется» на одной половине шахматной доски и не может ни наступать на, ни перескакивать через «забор». За час он «съедает всю траву на одной клетке» и должен прыгнуть на другую клетку. Какое максимальное время конь может «пастись на поле», не возвращаясь дважды на одну и ту же клетку?  (Л.А.Иванов)

 

Послевывод

9. В какое наименьшее число цветов необходимо раскрасить числа от 1 до 2007 так, чтобы если одно число делится на другое, то они окрашены в разные цвета? (В.Трушков)